Soit \(f\) continue sur \([1,+\infty[\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=L\in{\Bbb R}\)
Montrer que \(f\) est bornée
$$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=L\implies\forall\varepsilon\gt 0,\exists A\gt 0,\forall x\geqslant A, \lvert f(x)-L\rvert\leqslant\varepsilon$$
Soit \(\varepsilon=\frac12\). Alors \(\exists A\gt 0,\forall x\geqslant A,\quad L-\varepsilon\leqslant f(x)\leqslant L+\varepsilon\)
Sur \([1,A[\), \(f\) est bornée et atteint ses bornes d'après le théorème fondamental sur les fonctions continues